[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.Wynik ten jest tym bardziej zadziwiający, iż można dowieść, że prawie wszystkie możliwe ciągi cyfr mają charakter losowy.A my nie jesteśmy w stanie o żadnym konkretnym ciągu tego definitywnie orzec!Fascynującym może być przypuszczenie, że wobec tej definicji niektóre z występujących w przyrodzie pozornie przypadkowych zjawisk mogą nie mieć charakteru losowego.Kto wie na przykład, czy nie dotyczy to indeterminizmu, z jakim mamy do czynienia w mechanice kwantowej.W końcu z twierdzenia Chaitina wynika, że nigdy nie jesteśmy w stanie wykazać, iż ciąg wartości otrzymanych w wyniku kolejnych pomiarów kwantowomechanicznych jest naprawdę losowy.Niewątpliwie wygląda on na losowy, ale to samo dotyczy rozwinięcia liczby tc.Dopóki nie mamy „klucza do kodu”, czyli algorytmu wyrażającego ukryty porządek, uprawnione jest założenie, że mamy do czynienia z czymś naprawdę przypadkowym.Czyż nie może być tak, że istnieje jakiś wyrafinowany „kosmiczny kod”, algorytm generujący wartości wielkości kwantowych w przyrodzie, a obserwowany indeterminizm kwantowy jest tylko złudzeniem? Może kod ten kryje w sobie „przesłanie”, które mogłoby nam wyjawić najgłębsze tajemnice Wszechświata? Pomysł ten został już podchwycony przez niektórych teologów, którzy zauważyli, że indeterminizm kwantowy pozwala Bogu działać w świecie, „rzucając kwantową kostką” na poziomie atomów, bez naruszania klasycznych (tzn.niekwantowych) praw fizyki.W ten sposób istniałby podatny grunt do urzeczywistniania boskich celów w świecie bez sprawiania zbyt dużego kłopotu fizykom.W rozdziale 9 zajmę się pewną konkretną hipotezą tego typu.Uzbrojony w swoją algorytmiczną definicję Chaitin był w stanie wykazać, że przypadkowością przeniknięta jest cała matematyka, w tym także arytmetyka.W tym celu posłużył się wynalezionym przez siebie monstrualnych rozmiarów równaniem, zawierającym siedemnaście tysięcy zmiennych (ten typ równania określany jest w matematyce jako równanie diofantyńskie).W równaniu tym występuje parametr K, przybierający kolejne wartości całkowite l, 2, 3, i tak dalej.Chaitin postawił pytanie, czy przy danej wartości parametru K to olbrzymie równanie ma skończoną czy nieskończoną liczbę rozwiązań.Można sobie wyobrazić, że pracowicie rozwiązujemy je dla kolejnych wartości K, zapisując za każdym razem odpowiedź: „skończona”, „skończona”, „nieskończona”, „skończona”, „nieskończona”, „nieskończona”.Czy w tym ciągu odpowiedzi będzie występowała jakaś regularność? Chaitin udowodnił, że nie.Jeżeli przypiszemy przypadkowi skończonej liczby rozwiązań cyfrę O, a nieskończonej l, to powstały w ten sposób ciąg 001011.nie da się algorytmicznie uprościć; będzie zatem ciągiem losowym.Wniosek ten ma daleko idące konsekwencje.Oznacza bowiem, że nie ma ogólnego sposobu stwierdzenia dla wybranej wartości K bez bezpośrednich przeliczeń, czy to konkretne równanie diofantyńskie posiada skończoną czy nieskończoną liczbę rozwiązań.Innymi słowy, w przypadku tym nie istnieje systematyczna procedura pozwalająca z góry przewidzieć odpowiedzi na doskonale pod względem matematycznym postawiony problem: odpowiedzi mają charakter losowy.Niewielkim pocieszeniem może być fakt, że równanie diofantyńskie z siedemnastoma tysiącami zmiennych to w gruncie rzeczy dość osobliwy twór matematyczny.Skoro raz przypadkowość dostała się do matematyki, została ona nią do głębi skażona.Rozpowszechniona wizja matematyki jako zbioru precyzyjnych twierdzeń, spojonego doskonale określonymi związkami logicznymi, okazuje się nie odpowiadać prawdzie.W matematyce mamy do czynienia z przypadkowością, a tym samym niepewnością, w równym stopniu, co w fizyce.Według Chaitina, Bóg gra w kości nie tylko w mechanice kwantowej, ale nawet w przypadku arytmetyki liczb całkowitych.Uważa on zatem, że matematykę należy traktować na równi z naukami przyrodniczymi, w których poznanie rzeczywistości odbywa się na drodze połączenia rozumowania logicznego i odkryć eksperymentalnych.Oczyma wyobraźni można już widzieć uniwersyteckie katedry matematyki eksperymentalnej.Dość zabawne zastosowanie koncepcji algorytmicznej informacji związane jest z pewną liczbą nieobliczalną, zwaną omega, którą Chaitin definiuje jako prawdopodobieństwo, że program komputerowy zatrzyma się po wprowadzeniu na wejście czysto losowego ciągu binarnego.Prawdopodobieństwo czegokolwiek jest wyrażane liczbą rzeczywistą z przedziału między 0 a 1; przy czym 0 odpowiada zdarzeniu niemożliwemu, a l zdarzeniu koniecznemu.Jest oczywiste, że liczba omega będzie bliska jedności, ponieważ przytłaczającą większość możliwych ciągów na wejściu komputer potraktuje jako losowe i natychmiast zatrzyma się, generując odpowiedni komunikat o błędzie.Można wszakże udowodnić, że omega jest algorytmicznie nieupraszczalna i jej rozwinięcia, zarówno w postaci dwójkowej, jak i dziesiętnej, mają już po pierwszych kilku cyfrach charakter czysto losowy.Ponieważ omega jest zdefiniowana poprzez odniesienia do problemu zatrzymania się, ciągi cyfr w jej rozwinięciu kodują poszczególne rozwiązania tego pro blemu.Tak zatem pierwszych n cyfr dwójkowego rozwinięcia tej liczby zawiera odpowiedź na pytanie, które z n-bitowych programów zatrzymają się, a które będą wykonywane w nieskończoność
[ Pobierz całość w formacie PDF ]